第六十六章：你怎么知道的？！（二更求月票）
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“第二种比第一种更简单。”
韩川笑了笑，从许志远的手中拿回了稿纸，翻到背面，然后在空白处画了一个坐标系。
横轴标代表x₁，纵轴代表标x₂。
画好坐标系后，他紧接着在里面画了一条斜线，解释道。
“比例约束x₂=1.5x₁，从原点出发，斜率1.5。最优解一定在这条线上或线下方，因为上方不满足约束条件。”
“把三条原料约束和一条比例约束画进坐标系，可行域就是四条直线围起来的区域。”
“那么整数最优解一定在可行域的边界上，而且大概率落在某两条约束直线的交点上。”
“因为最优解要尽可能满足约束，只要浪费资源那肯定就不是最优的。”
“所以....”
说着，他又在坐标系中画了三条直线，分别代表原料1、原料2、原料3的约束边界。
从画面来看，很明显这三条直线在坐标系里交出一个不规则的四边形区域。
“原料2的约束3x₁+2x₂=600最陡，原料1的约束2x₁+4x₂=800最平。这两条直线的交点在x₁=100，x₂=150。”
韩川用笔尖点了点那个交点，接着说道：“而这个点恰好也落在比例约束线上，150正好是100的1.5倍。而且它还在原料3约束线的下方，也就是5×100+150=650，小于750，有剩余。”
“而四个约束，两个在这一点同时取等，一个取严格不等。在二维整数规划里，这种‘双重紧约束’的点就是最优解的最强候选。”
“从这个坐标系，不用算目标函数都能判断它是最优的分配方案，因为它同时耗尽了两种最紧张的资源，没有浪费。”
刘露盯着稿纸上那个简单的坐标图，惊讶地嘴巴都张开了。
她参加过两届全国大学生数学建模竞赛了，虽然不是建模手和编程手，但多多少少也懂一些。
正常来说，建模做线性规划从来都是打开LINGO或者MATLAB，输入变量，建立约束，然后点运行等结果。
现在这是个什么情况？一张坐标系就直接给他们需要用软件才能算出来的数据直接显示出来了？
不是，搞数学的，都这么厉害的吗？
一旁，许志远从韩川的手中接过稿纸，盯着坐标系上的四边形区域皱着眉头问道。
“如果可行域的顶点不是整数怎么办？”
不是整数，就意味着建模过程中生产材料的使用无法单独计算。
“那就枚举最近的几个整数点。”
韩川的语气轻松地开口道：“这种二维问题，交点附近的整数格点最多四个，上下左右各取整，逐个验证约束，总有一个是最优的。”
“不过对于这道题来说，交点本身就是整数，连枚举都省了。”
话落，实验室里安静了几秒，许志远捏着稿纸盯着上面的坐标系和算式在琢磨着什么。
倒是刘露一脸惊诧的看着韩川，这家伙，真的是第一次参加建模比赛，第一次上建模课吗？
怎么感觉这么熟练的样子？
韩川倒是没在意刘露的目光，他看着依旧皱眉苦思的许志远，好奇地问道：“许师兄还有什么问题？”
许志远沉默了一会，忽然开口道：“韩川，你这个方法能用到分层框架重新处理上吗？”
闻言，韩川愣了一下：“分层框架重新处理？”
许志远点点头，从一旁的书桌上抽过来自己的笔记本电脑，指着屏幕上开着MATLAB开口道。
“这两天我在把前年国赛的B题，也就是城市交通流量分配那道，尝试重新用分层框架做了一遍，遇到了一些问题。”
说到这，他想起了什么紧接着看向韩川问道：“你看过原题吗？”
韩川摇摇头，道：“没有，这段时间我只接触过建模教材上的那些相对较为基础的案例和问题。”
闻言，许志远点击了一下鼠标，操作着电脑调出了2007年国赛的题目。
韩川凑了过去，看了一眼。
简单地来说，07年全国大学生数学建模竞赛B题叫做《乘公交，看奥运。
这是一道以2008年京城奥运会为背景，要求为观众在庞大而复杂的公交（公汽+地铁）网络中规划最优出行路线的难题。
参赛者需要针对这道题目建立一个以‘公共交通线路’为基础的查询系统，并设计核心模型与算法。可以说是一道非常经典的多目标规划与图论结合的问题了。
题目分为三个小问，从简单到复杂。
第一问是仅考虑公共汽车网络，建立一个只包含公共汽车线路的数学模型与算法，为任意给定的两个站点找出‘最佳乘车路线’。
第二问则是将地铁线路纳入考量，建立一个能处理公共汽车和地铁两种交通方式的统一模型。
第三问最复杂，需要引入步行因素，扩展模型允许乘客通过步行在任意两个站点间进行换乘。
看完题目，韩川脸上的神色有些怪异。
在08年奥运会举办之前出这样的题目...emmmmm。
他怎么感觉，国家在通过建模大赛这种方式‘白嫖’他们这些参赛者做出来的成果呢？
在韩川看完题目后，许志远拖动鼠标，切换到自己的解决方案后开口道：“这道题的难点不在建模，在于数学上的求解。”
“因为单是京城市的公交线路就有几百条，站点几千个。如果把它当成一个标准的图论最短路径问题，邻接矩阵的规模会大到没法直接处理。”
“当年所有因为这道题而拿获奖的队伍都用了各种启发式算法，比如遗传算法、模拟退火、蚁群算法等等。本质上都是在暴力搜索的基础上做减法。”
“我这些天在想，这道题能不能用分层框架来做。”
“因为公交网络有一个天然的分层结构：骨干线路、支线路线、接驳路线等等。”
“如果把骨干线路放在第一层，支线放在第二层，接驳线放在第三层，换乘枢纽作为共享变量，理论上应该可以。”
盯着屏幕上的解决方案，韩川若有所思地开口道：“我想，你的问题应该出在骨干线路、支线路线这些路线的交叉换乘点上。”
“对不对？”
听到韩川的话，许志远一脸惊诧的看了过来：“你怎么知道的？你不是没看过原题吗？”
.....
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韩川笑了笑，从许志远的手中拿回了稿纸，翻到背面，然后在空白处画了一个坐标系。
横轴标代表x₁，纵轴代表标x₂。
画好坐标系后，他紧接着在里面画了一条斜线，解释道。
“比例约束x₂=1.5x₁，从原点出发，斜率1.5。最优解一定在这条线上或线下方，因为上方不满足约束条件。”
“把三条原料约束和一条比例约束画进坐标系，可行域就是四条直线围起来的区域。”
“那么整数最优解一定在可行域的边界上，而且大概率落在某两条约束直线的交点上。”
“因为最优解要尽可能满足约束，只要浪费资源那肯定就不是最优的。”
“所以....”
说着，他又在坐标系中画了三条直线，分别代表原料1、原料2、原料3的约束边界。
从画面来看，很明显这三条直线在坐标系里交出一个不规则的四边形区域。
“原料2的约束3x₁+2x₂=600最陡，原料1的约束2x₁+4x₂=800最平。这两条直线的交点在x₁=100，x₂=150。”
韩川用笔尖点了点那个交点，接着说道：“而这个点恰好也落在比例约束线上，150正好是100的1.5倍。而且它还在原料3约束线的下方，也就是5×100+150=650，小于750，有剩余。”
“而四个约束，两个在这一点同时取等，一个取严格不等。在二维整数规划里，这种‘双重紧约束’的点就是最优解的最强候选。”
“从这个坐标系，不用算目标函数都能判断它是最优的分配方案，因为它同时耗尽了两种最紧张的资源，没有浪费。”
刘露盯着稿纸上那个简单的坐标图，惊讶地嘴巴都张开了。
她参加过两届全国大学生数学建模竞赛了，虽然不是建模手和编程手，但多多少少也懂一些。
正常来说，建模做线性规划从来都是打开LINGO或者MATLAB，输入变量，建立约束，然后点运行等结果。
现在这是个什么情况？一张坐标系就直接给他们需要用软件才能算出来的数据直接显示出来了？
不是，搞数学的，都这么厉害的吗？
一旁，许志远从韩川的手中接过稿纸，盯着坐标系上的四边形区域皱着眉头问道。
“如果可行域的顶点不是整数怎么办？”
不是整数，就意味着建模过程中生产材料的使用无法单独计算。
“那就枚举最近的几个整数点。”
韩川的语气轻松地开口道：“这种二维问题，交点附近的整数格点最多四个，上下左右各取整，逐个验证约束，总有一个是最优的。”
“不过对于这道题来说，交点本身就是整数，连枚举都省了。”
话落，实验室里安静了几秒，许志远捏着稿纸盯着上面的坐标系和算式在琢磨着什么。
倒是刘露一脸惊诧的看着韩川，这家伙，真的是第一次参加建模比赛，第一次上建模课吗？
怎么感觉这么熟练的样子？
韩川倒是没在意刘露的目光，他看着依旧皱眉苦思的许志远，好奇地问道：“许师兄还有什么问题？”
许志远沉默了一会，忽然开口道：“韩川，你这个方法能用到分层框架重新处理上吗？”
闻言，韩川愣了一下：“分层框架重新处理？”
许志远点点头，从一旁的书桌上抽过来自己的笔记本电脑，指着屏幕上开着MATLAB开口道。
“这两天我在把前年国赛的B题，也就是城市交通流量分配那道，尝试重新用分层框架做了一遍，遇到了一些问题。”
说到这，他想起了什么紧接着看向韩川问道：“你看过原题吗？”
韩川摇摇头，道：“没有，这段时间我只接触过建模教材上的那些相对较为基础的案例和问题。”
闻言，许志远点击了一下鼠标，操作着电脑调出了2007年国赛的题目。
韩川凑了过去，看了一眼。
简单地来说，07年全国大学生数学建模竞赛B题叫做《乘公交，看奥运。
这是一道以2008年京城奥运会为背景，要求为观众在庞大而复杂的公交（公汽+地铁）网络中规划最优出行路线的难题。
参赛者需要针对这道题目建立一个以‘公共交通线路’为基础的查询系统，并设计核心模型与算法。可以说是一道非常经典的多目标规划与图论结合的问题了。
题目分为三个小问，从简单到复杂。
第一问是仅考虑公共汽车网络，建立一个只包含公共汽车线路的数学模型与算法，为任意给定的两个站点找出‘最佳乘车路线’。
第二问则是将地铁线路纳入考量，建立一个能处理公共汽车和地铁两种交通方式的统一模型。
第三问最复杂，需要引入步行因素，扩展模型允许乘客通过步行在任意两个站点间进行换乘。
看完题目，韩川脸上的神色有些怪异。
在08年奥运会举办之前出这样的题目...emmmmm。
他怎么感觉，国家在通过建模大赛这种方式‘白嫖’他们这些参赛者做出来的成果呢？
在韩川看完题目后，许志远拖动鼠标，切换到自己的解决方案后开口道：“这道题的难点不在建模，在于数学上的求解。”
“因为单是京城市的公交线路就有几百条，站点几千个。如果把它当成一个标准的图论最短路径问题，邻接矩阵的规模会大到没法直接处理。”
“当年所有因为这道题而拿获奖的队伍都用了各种启发式算法，比如遗传算法、模拟退火、蚁群算法等等。本质上都是在暴力搜索的基础上做减法。”
“我这些天在想，这道题能不能用分层框架来做。”
“因为公交网络有一个天然的分层结构：骨干线路、支线路线、接驳路线等等。”
“如果把骨干线路放在第一层，支线放在第二层，接驳线放在第三层，换乘枢纽作为共享变量，理论上应该可以。”
盯着屏幕上的解决方案，韩川若有所思地开口道：“我想，你的问题应该出在骨干线路、支线路线这些路线的交叉换乘点上。”
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